홀덤 ICM 계산 실전: 손으로 따라가는 스택 가치

ICM 계산, 결국 세 단계입니다

홀덤 ICM 계산의 뼈대는 세 단계입니다. 각자의 칩으로 1등·2등·3등에 오를 확률을 구하고, 그 확률에 순위별 상금을 곱한 뒤, 모두 더하면 그 사람의 상금 기대값이 됩니다. 원리를 아무리 읽어도 감이 안 오던 사람도, 숫자를 손으로 한 번 따라가 보면 바로 이해됩니다.

이 글은 ICM이 왜 필요한지가 아니라, 실제로 어떻게 숫자를 뽑느냐에 집중합니다. ICM의 개념과 후반 판단은 홀덤 ICM 전략에서 다뤘으니, 여기서는 곧장 계산기를 손에 든 셈 치고 세 명 예시를 끝까지 밀고 나가겠습니다.

먼저 준비물은 두 가지입니다. 남은 사람들의 스택, 그리고 남은 순위별 상금입니다. 이 둘만 있으면 나머지는 기계적으로 따라옵니다.

예시 설정: 세 명, 상금 300만 원

세 명이 남았고, 스택과 상금이 다음과 같다고 하겠습니다.

전체 칩은 120만입니다. 남은 상금은 1등 150만 원, 2등 100만 원, 3등 50만 원으로 합이 300만 원입니다.

만약 칩이 곧 상금이라면 A는 300만의 50%인 150만, B는 90만, C는 60만을 받아야 합니다. 이것이 단순 칩 비율입니다. ICM 계산은 여기서 출발해, 순위 상금 구조를 반영하면 이 숫자가 어떻게 달라지는지를 보여 줍니다.

1단계: 1등 확률은 칩 비율 그대로

가장 쉬운 부분입니다. 1등에 오를 확률은 각자의 칩 비율 그대로입니다. 칩이 많을수록 마지막까지 살아남을 가능성이 크다는 단순한 가정입니다.

• A의 1등 확률 = 50%
• B의 1등 확률 = 30%
• C의 1등 확률 = 20%

세 사람의 1등 확률을 더하면 정확히 100%입니다. 누군가는 반드시 1등을 하니 당연합니다. 여기까지는 칩 비율과 똑같아, ICM만의 특징이 아직 드러나지 않습니다. 진짜 계산은 2등부터 시작됩니다.

2단계: 2등 확률, ICM의 핵심

2등 확률이 ICM의 심장입니다. 방법은 이렇습니다. “누가 1등을 했다고 치면, 남은 사람 중 누가 2등인가”를 다시 칩 비율로 봅니다. 이 계산을 모든 1등 경우에 대해 펼쳐 더합니다.

A가 1등인 경우(확률 50%). 남은 B와 C의 칩은 36만과 24만이니, 둘 사이 비율은 60%와 40%입니다. 즉 A가 1등일 때 B가 2등일 확률은 이 경우 안에서 60%입니다.

B가 1등인 경우(확률 30%). 남은 A와 C의 칩은 60만과 24만이니, 둘 사이 비율은 71.4%와 28.6%입니다.

C가 1등인 경우(확률 20%). 남은 A와 B의 칩은 60만과 36만이니, 둘 사이 비율은 62.5%와 37.5%입니다.

이제 각자의 2등 확률을 모읍니다. 예를 들어 C의 2등 확률은, A가 1등일 때(50% × 40%)와 B가 1등일 때(30% × 28.6%)를 더한 값입니다. 계산하면 0.20 + 0.086 = 약 0.286, 즉 28.6%입니다.

여기가 결정적입니다. C의 1등 확률은 20%뿐이지만, 2등 확률은 28.6%로 오히려 더 높습니다.¹ “1등은 못 해도 2등은 할 수 있다”는 몫이 쌓였기 때문입니다.

3단계: 3등은 자동, 그리고 상금 곱하기

세 명뿐이니 남은 마지막 자리는 자동으로 3등입니다. 각자의 3등 확률은 “1에서 1등 확률과 2등 확률을 뺀 값”입니다. C의 경우 1 − 0.20 − 0.286 = 약 0.514, 즉 51.4%가 3등 확률입니다.

이제 각자의 순위별 확률에 상금을 곱해 더합니다. C를 끝까지 계산해 보겠습니다.

• 1등 확률 20% × 150만 = 30만
• 2등 확률 28.6% × 100만 = 28.6만
• 3등 확률 51.4% × 50만 = 25.7만
• 합 = 약 84만 원

같은 방식으로 A와 B도 계산하면 세 명의 상금 기대값이 나옵니다. 정리하면 다음과 같습니다.

세 사람의 ICM 기대값을 더하면 300만 원, 남은 상금 총액과 정확히 맞습니다. 계산이 맞았다는 확인입니다.

왜 짧은 스택이 더 받나: 숫자로 확인

표를 보면 한눈에 드러납니다. 두터운 A는 칩 비율 150만에서 128만으로 줄었고, 짧은 C는 60만에서 84만으로 크게 늘었습니다. 칩은 C가 A의 절반에도 못 미치는데, 상금 기대값은 128만 대 84만으로 차이가 훨씬 좁혀졌습니다.

이유는 최하위 상금의 확보에 있습니다. 상금권 안에 있는 한, C는 아무리 밀려도 3등 상금 50만 원은 받습니다. ICM은 그 50만 원을 바닥으로 깔고, 그 위로 2등·1등에 오를 확률만큼을 더해 줍니다. 그래서 짧은 스택의 기대값은 칩 비율보다 항상 위로 뜹니다.

반대로 A는 우승 상금 150만 원이라는 상한에 막힙니다. 칩을 아무리 많이 쥐어도 받을 수 있는 최대는 150만 원이고, 게다가 1등을 못 할 확률도 절반이나 됩니다. 그래서 두터운 스택의 기대값은 칩 비율보다 깎입니다. 이 어긋남이 바로 ICM의 원리이며, 계산은 그것을 구체적인 숫자로 보여 줄 뿐입니다.

칩을 두 배로 늘리면: 한계 가치 실험

ICM 계산의 또 다른 쓸모는 “칩 한 단위의 값”이 상황마다 다르다는 것을 숫자로 확인하는 데 있습니다. 앞의 예시를 살짝 비틀어 실험해 보겠습니다.

C가 어딘가에서 칩을 흡수해 24만에서 48만으로 두 배가 됐다고 해 봅시다(전체 칩은 그만큼 늘어난 것으로 둡니다). 직관적으로는 상금 기대값도 두 배로 뛸 것 같지만, 실제로 계산해 보면 84만 원에서 두 배인 168만 원 근처까지 가지 못합니다. 우승 상금 상한과 이미 확보한 3등 상금 때문에, 늘어난 칩이 기대값을 밀어 올리는 힘이 처음보다 약하기 때문입니다.

이것이 칩의 한계 가치가 점점 줄어든다는 감각의 실체입니다. 짧은 스택일 때 얻는 첫 칩은 생존과 직결돼 무겁지만, 스택이 두터워진 뒤의 칩은 상금 기대값에서 가벼워집니다. 손으로 두 번만 계산해 보면 이 비대칭이 몸에 익습니다.

계산이 맞았는지 검산하는 법

손 계산은 어디선가 한 번 어긋나면 결과 전체가 틀어집니다. 그래서 중간중간 검산하는 습관이 중요합니다. ICM 계산에는 반드시 맞아떨어져야 하는 확인점이 두 가지 있습니다.

첫째, 각 순위의 확률 합은 정확히 100%여야 합니다. 세 사람의 1등 확률을 더하면 100%, 2등 확률을 더해도 100%, 3등 확률을 더해도 100%입니다. 누군가는 반드시 각 순위를 차지하기 때문입니다. 앞의 예에서 세 명의 2등 확률(B와 A와 C의 2등 확률)을 더했을 때 100%가 나오지 않으면, 어느 경우를 빠뜨렸거나 비율을 잘못 나눈 것입니다.

둘째, 세 사람의 상금 기대값 합은 남은 상금 총액과 같아야 합니다. 앞 예시에서 A 128만 + B 88만 + C 84만 = 300만 원으로, 상금 총액과 정확히 맞았습니다. 이 합이 상금 총액보다 크거나 작으면 계산 어딘가가 틀린 것입니다. ICM은 있는 상금을 확률로 재분배하는 것일 뿐, 없던 돈을 만들거나 없애지 않기 때문입니다.

이 두 검산은 계산이 복잡해질수록 더 유용합니다.² 특히 2등 확률을 펼치다 실수하기 쉬운데, 확률 합이 100%가 아니면 그 단계에서 바로 오류를 잡을 수 있습니다. 결과를 딜 협상 자리에 내밀기 전에 이 두 가지만 확인해도, 잘못된 숫자로 다투는 일을 피할 수 있습니다.

• 각 순위의 확률 합이 100%인가
• 세 명의 기대값 합이 상금 총액과 같은가

스택 차이를 벌리면: 왜곡이 뚜렷해진다

앞의 예시는 스택 차이가 완만해 ICM과 칩 비율의 격차가 작았습니다. 스택 차이를 극단으로 벌리면 계산이 무엇을 바로잡는지가 훨씬 선명해집니다. 상금은 그대로(1등 150만, 2등 100만, 3등 50만) 두고, 스택만 A 90만, B 24만, C 6만으로 잡아 보겠습니다.

전체 칩은 120만이고, 칩 비율은 A 75%, B 20%, C 5%입니다. 만약 칩이 곧 상금이라면 C는 300만의 5%인 15만 원을 받아야 합니다. 그런데 15만 원은 최하위 상금 50만 원에도 한참 못 미칩니다. 칩이 곧 상금이라는 가정을 극단까지 밀면, 이미 확보한 3등 상금보다 적게 받는 이상한 결과가 나오는 것입니다.

ICM 계산은 이 왜곡을 바로잡습니다. 절차를 다시 밟아 C의 상금 기대값을 구해 보겠습니다. C의 1등 확률은 5%뿐입니다. 하지만 2등 확률을 펼치면 다릅니다. A가 1등일 때(75%) 남은 B와 C의 칩은 24만과 6만이라 C가 2등일 비율은 20%이고, B가 1등일 때(20%) 남은 A와 C의 칩은 90만과 6만이라 C가 2등일 비율은 약 6.3%입니다. 이를 합하면 C의 2등 확률은 75% × 20% + 20% × 6.3% = 약 16.3%입니다.

결과를 보면 C의 기대값은 15만이 아니라 약 53만 원으로, 최하위 상금 50만을 넘어섭니다. 이미 확보한 3등 상금 위에 위 순위로 오를 몫이 조금 더 얹힌 값입니다. 반대로 A는 칩 비율 225만에서 168만으로 크게 깎입니다. 두터운 스택이라도 1등을 반드시 하는 것은 아니라는 현실을 계산이 반영하기 때문입니다. 스택 차이가 벌어질수록 두 계산의 온도차가 이렇게 커진다는 점을 손 계산이 숫자로 확인해 줍니다.

손 계산에서 자주 틀리는 지점

마지막으로, 직접 계산할 때 흔히 어긋나는 대목을 짚어 두겠습니다.

• 2등 확률을 칩 비율 그대로 쓴다. 2등부터는 “1등이 빠진 나머지끼리” 다시 비율을 내야 합니다. 처음 칩 비율을 그대로 쓰면 틀립니다.
• 모든 1등 경우를 더하지 않는다. 내 2등 확률은 “A가 1등일 때 + B가 1등일 때”처럼 나를 뺀 모든 1등 경우를 합해야 합니다. 한 경우만 계산하면 값이 작게 나옵니다.
• 확률의 합을 검산하지 않는다. 각 순위 확률의 합은 100%, 세 명의 기대값 합은 상금 총액과 같아야 합니다. 어긋나면 어딘가 틀린 것입니다.
• 인원이 늘면 손 계산이 폭발한다. 세 명은 손으로 되지만 네 명만 돼도 경우의 수가 급격히 늘어, 실전에서는 계산 도구를 씁니다. 원리 확인용으로만 손 계산을 쓰세요.

정리하면, ICM 계산은 1등 확률(칩 비율) → 2등 확률(나머지끼리 재분배) → 3등 자동 → 상금 곱해 합산의 순서입니다. 이 절차를 세 명 예시로 한 번 끝까지 밀어 보면, 왜 짧은 스택이 더 받고 칩과 상금이 정비례하지 않는지가 숫자로 손에 잡힙니다. 계산 결과를 딜 협상에 쓰는 법은 홀덤 딜 메이킹 계산법에서, 그 판단이 실전 결정을 어떻게 바꾸는지는 홀덤 ICM 전략에서 이어 보시길 권합니다.

주석

1. 2등 확률은 나를 뺀 각 1등 경우의 확률에 그 안에서 내가 2등일 비율을 곱해 모두 더한 값입니다. ↩

2. 인원이 네 명 이상이면 경우의 수가 급격히 늘어, 손 계산은 원리 확인용으로만 쓰고 실전에서는 도구를 씁니다. ↩